Программирование на языке Pascal

       

Пирамидальная сортировка


Попытаемся теперь усовершенствовать другой рассмотренный выше простой алгоритм: сортировку простым выбором ПрВыб.

Р. Флойд предложил перестроить линейный массив в пирамиду - своеобразное бинарное дерево, - а затем искать минимум только среди тех элементов, которые находятся непосредственно "под" текущим вставляемым.

Просеивание

Для начала необходимо перестроить исходный массив так, чтобы он превратился в пирамиду, где каждый элемент "опирается" на два меньших. Этот процесс назвали просеиванием, потому что он очень напоминает процесс разделения некоторой смеси (камней, монет, т.п.) на фракции в соответствии с размерам частиц: на нескольких грохотах3) последовательно задерживаются сначала крупные, а затем все более мелкие частицы.

Итак, будем рассматривать наш линейный массив как пирамидальную структуру:

a[1]
a[2]a[3]
a[4]a[5]a[6]a[7]
a[8]a[9]a[10]a[11]a[12]

Видно, что любой элемент a[i] (1<=i<=N div 2) "опирается" на элементы a[2*i] и a[2*i+1]. И в каждой такой тройке максимальный элемент должен находится "сверху". Конечно, исходный массив может и не удовлетворять этому свойству, поэтому его потребуется немного перестроить.

Начнем процесс просеивания "снизу". Половина элементов (с ((N div 2)+1)-го по N-й) являются основанием пирамиды, их просеивать не нужно. А для всех остальных элементов (двигаясь от конца массива к началу) мы будем проверять тройки a[i], a[2*i] и a[2*i+1] и перемещать максимум "наверх" - в элемент a[i].

При этом, если в результате одного перемещения нарушается пирамидальность в другой (ниже лежащей) тройке элементов, там снова необходимо "навести порядок" - и так до самого "низа" пирамиды:

for i:= (N div 2)downto 1 do begin j:= i; while j<=(N div 2) do begin k:= 2*j; if (k+1<=N) and (a[k]<a[k+1]) then k:= k+1; if a[k]>a[j] then begin x:= a[j]; a[j]:= a[k]; a[k]:= x; j:= k end else break end end;

Пример результата просеивания

Возьмем массив [1,7,5,4,9,8,12,11,2,10,3,6] (N = 12).

Его исходное состояние таково (серым цветом выделено "основание" пирамиды, не требующее просеивания):

121121036
1
75
498


После первых трех просеиваний (a[6], a[5], a[4]) получим такую картину (здесь и далее серым цветом выделяем участников просеивания):

86
1
75
4912
112103
10 99 10
1
75
11812
11236
11 44 11
1
75
10812
2936
Просеивание двух следующих элементов (a[3] и a[2]) тоже не вызовет вопросов - для каждого из них будет достаточно только одного шага:

12 55 12
1
7
11108
42936
11 77 11
1
5
10812
42936
А вот для просеивания последнего элемента (a[1]) понадобится целых три шага:

12 11 12
11
7 11085
42936
8 11 8
12
11
7105
42936
6 11 6
12
118
7105
4293
Итак, мы превратили исходный массив в пирамиду: в любой тройке a[i], a[2*i] и a[2*i+1] максимум находится "сверху".

Алгоритм УлПир

Для того чтобы отсортировать массив методом Пирамиды, необходимо выполнить такую последовательность действий:

0-й шаг: Превратить исходный массив в пирамиду (с помощью просеивания).

1-й шаг: Для N-1 элементов, начиная с последнего, производить следующие действия:

  • поменять местами очередной "рабочий" элемент с первым;
  • просеять (новый) первый элемент, не затрагивая, однако, уже отсортированный хвост последовательности (элементы с i-го по N-й).


Реализация алгоритма УлПир

Часть программы, реализующую нулевой шаг алгоритма УлПир, мы привели в пункте "Просеивание", поэтому здесь ограничимся только реализацией основного шага 1:

for i:= N downto 2 do begin x:= a[1]; a[1]:= a[i]; a[i]:= x; j:= 1; while j<=((i-1)div 2) do begin k:= 2*j; if (k+1<=i-1) and (a[k]<a[k+1]) then k:= k+1; if a[k]>a[j] then begin x:= a[j]; a[j]:= a[k]; a[k]:= x; j:= k end else break end end;

Пример. Продолжим сортировку массива, для которого мы уже построили пирамиду: [12,11,8,7,10,6,5,4,2,9,3,1]. С целью экономии места мы не будем далее прорисовывать структуру пирамиды, оставляя это несложное упражнение читателям. Подчеркивание будет отмечать элементы, участвовавшие в просеивании, а полужирный шрифт - элементы, исключенные из дальнейшей обработки:



1) Меняем местами a[1] и a[12]: [1,11,8,7,10,6,5,4,2,9,3,12]; 2) Просеиваем элемент a[1], получаем: [11,10,8,7,9,6,5,4,2,1,3,12]; 3) Меняем местами a[1] и a[11]: [3,10,8,7,9,6,5,4,2,1,11,12]; 4) Просеиваем a[1], получаем: [10,9,8,7,3,6,5,4,2,1,11,12]; 5) Меняем местами a[1] и a[10]: [1,9,8,7,3,6,5,4,2,10,11,12]; 6) Просеиваем элемент a[1]: [9,7,8,4,3,6,5,1,2,10,11,12]; 7) Меняем местами a[1] и a[9]: [2,7,8,4,3,6,5,1,9,10,11,12]; 8) Просеиваем элемент a[1]: [8,7,6,4,3,2,5,1,9,10,11,12]; 9) Меняем местами a[1] и a[8]: [1,7,6,4,3,2,5,8,9,10,11,12]; 10) Просеиваем элемент a[1]: [7,4,6,1,3,2,5,8,9,10,11,12]; 11) Меняем местами a[1] и a[7]: [5,4,6,1,3,2,7,8,9,10,11,12]; 12) Просеиваем элемент a[1]: [6,4,5,1,3,2,7,8,9,10,11,12]; 13) Меняем местами a[1] и a[6]: [2,4,5,1,3,6,7,8,9,10,11,12]; 14) Просеиваем элемент a[1]: [5,4,2,1,3,6,7,8,9,10,11,12]; 15) Меняем местами a[1] и a[5]: [3,4,2,1,5,6,7,8,9,10,11,12]; 16) Просеиваем элемент a[1]: [4,3,2,1,5,6,7,8,9,10,11,12]; 17) Меняем местами a[1] и a[4]: [1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 18) Просеиваем элемент a[1]: [3,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 19) Меняем местами a[1] и a[3]: [2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 20) Просеивать уже ничего не нужно; 21) Меняем местами a[1] и a[2]: [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]; 22) Просеивать ничего не нужно, сортировка закончена.

Эффективность алгоритма УлПир

Пирамидальная сортировка хорошо работает с большими массивами, однако на маленьких примерах (N<20) выгода от ее применения может быть не слишком очевидна.

В среднем этот алгоритм имеет сложность, пропорциональную N*log N.


Содержание раздела